En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficiente de dicho poliniomio que es igual a cero si y sólo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático

      es       .

El discriminante del polinomio cúbico

      es       .

Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se desvanece si y sólo si el polinomio no tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición.

El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría algebraica de números están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.

El polinomio cuadrático

      tiene discriminante       .

El polinomio cúbico

      tiene discriminante       .

Los polinomios más simples tienen discriminantes con expresiones más simples. Por ejemplo el polinomio mónico cuadrático

      tiene discriminante       .

el polinomio mónico cúbico

      tiene discriminante       .

El polinomio mónico cúbico sin término cuadrático

      tiene discriminante       .

El polinomio cuadrático P(x) = ax² + bx + c tiene discriminante D = b² ? 4ac, que es la cantidad bajo el signo de raíz cuadrada en la fórmula cuadrática. Dados los números reales a, b, c, se tiene:

El discriminante del polinomio general

es, hasta cierto factor, igual al determinante de la matriz (2n ? 1)×(2n ? 1) (Véase también: matriz de Sylvester)

El determinante de esta matriz se conoce como el resultante de y , notación . El discriminante de viene dado por

.

Por ejemplo, en el caso n = 4, el determinante es

El discriminante del polinomio de cuarto grado se obtiene a partir de su determinante dividiéndolo por .

De forma equivalente, el discriminante es igual a

donde r₁, ..., r_n son las raíces complejas (contando su multiplicidad) del polinomio p(x):

Esta segunda expresión clarifica que p tiene raíz múltiple si y sólo si el discriminante es cero (la raíz múltiple puede ser compleja).

El discriminante puede defiinirse para polinomios en cuerpos arbitrarios de la misma manera. La fórmula que involucra las raíces r_i sigue siendo válida; las raíces tienen que tomarse en un cuerpo de descomposición del polinomio.

Para una sección cónica definida por el polinomio real:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f= 0,

el discriminante es igual a

b² ? 4ac,

y determina la forma de la sección cónica. Si el discriminante es menor a 0, la ecuación describe una elipse una circunferencia. Si el discriminante es igual a 0, la ecuación describe una parábola. Si por el contrario es mayor a cero, la ecuación describe una hipérbola. Esta fórmula no funciona en los casos degenerados (cuando el polinomio se factorida).

Hay una generalización de las formas cuadráticas Q sobre cualquier cuerpo K de característica ? 2. Pueden expresarse como la suma de términos

a_iL_i²

donde los términos L_i son formas lineales y 1 ? i ? n donde n es el número de variables. Entonces el discriminante es el producto de a_i, tomado en K/K², y está bien definido. Una forma más invariante de decir lo mismo es que es el determinante de una matriz simétrica para Q.